\documentclass[a4paper,12pt,russian]{article}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc} % любая желаемая кодировка
\usepackage[pdftex,unicode]{hyperref}
\usepackage{array}
\usepackage[russian]{babel} 
\usepackage{cmap}
\usepackage{indentfirst} % включить отступ у первого абзаца
\usepackage[top=10mm,bottom=15mm,left=15mm,right=15mm,includehead,head=12pt,headsep=0cm,includefoot,foot=10pt]{geometry}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[usenames]{color}
\usepackage{colortbl}
\usepackage{listings}
\lstset{
  language=C, extendedchars=\true
}
\graphicspath{{images/}}
\title{Новый алгоритм сопровождения нескольких маневрирующих целей}
\date{2010}
\author{Линг-кун Ли, Вей-Ксин Кси}

\linespread{1.5} % полуторный интервал

\begin{document} % начало документа
\maketitle

\section*{Аннотация} 
В данной статье предлагается новый алгоритм сопровождения нескольких маневрирующих целей. Предложенный алгоритм базируется на разделении данной задачи на три стадии: ассоциирование данных, оценку динамической модели одиночной цели, а также оценку подзадач сопровождения одиночной цели, зависящих от ассоциации данных и динамической модели. Здесь подзадача ассоциации данных может быть решена при помощи нечеткой логики, оценка динамической модели – при помощи фильтра частиц Рао-Блеквелизда, а сопровождение одиночной цели – при помощи фильтра Калмана или расширенного фильтра Калмана. В итоге, результаты эксперимента показывают, что предложенный алгоритм может эффективно сопровождать маневрирующие цели.

Ключевые слова: сопровождение маневрирующих целей, ассоциирование данных, фильтр частиц Рао-Блеквелизда

\section{Введение}

Проблема сопровождения нескольких маневрирующих целей гораздо сложнее, чем проблема 
сопровождения одиночной цели. В случае сопровождения нескольких целей алгоритм должен 
не только оценивать, какие цели обусловлены измерениями, но и оценивать динамическую модель
 цели прежде, чем он сможет использовать измерения для фактического сопровождения.
Если бы были известны корректная модель ассоциирования данных и динамическая модель цели, 
то задача сопровождения нескольких целей сводилась бы к сопровождению каждой из целей отдельно.

Фильтры частиц (ФЧ) – это класс методов фильтрации, сглаживания и так далее в нелинейном 
и/или негауссовом пространстве состояний, которые могут работать значительно лучше, чем 
традиционный фильтр Калмана или расширенный фильтр Калмана. В последнее время ФЧ активно 
используется для сопровождения маневрирующих целей. В [1] ФЧ используется для решения 
задачи сопровождения в условиях мерцающих помех. Как показано в [2], ФЧ работает лучше,
 чем интерактивный многомодельный алгоритм (ИМА). Арнод Дусет и Саймон Годзил [3] 
предложили новый фильтр Рао-Блеквелизда. Идея такого фильтра в том, что иногда возможно 
выразить часть уравнений фильтрации аналитически, а часть – при помощи дискретного 
моделирования методом Монте-Карло, вместо того, чтобы рассчитывать все дискретизацией <<в лоб>>. 
Согласно теореме Рао-Блеквелизда, это приводит к тому, что оцениватели будут иметь 
меньшую дисперцию, чем может быть получена на основе применения дискретизации исключительно 
методом Монте-Карло. В [4] Саймо Сарка предлагает новый алгоритм на базе ФЧ Рао-Блеквелизда 
(ФЧРБ) для сопровождения неизвестного количества целей. В [5] Ксу Ксинью предлагает 
адаптивный ФЧРБ для сопровождения в режиме обзора. В [6] мы предлагаем новый многомодельный 
алгоритм, основанный на ФЧРБ (ММФЧРБ) для сопровождения маневрирующих целей. В данной статье 
мы расширяем использование ММФЧРБ для решения задачи сопровождения нескольких маневрирующих 
целей. В предложенном алгоритме подзадача ассоциации данных может быть решена с помощью 
нечеткой логики, динамическая модель одиночной цели базируется на ММФЧРБ, а сопровождение 
одиночной цели производится фильтром Калмана или расширенным фильтром Калмана.

Содержимое статьи имеет следующую структуру. В разделе 2 обсуждается предлагаемый 
алгоритм сопровождения нескольких маневрирующих целей. Результаты эксперимента приведены
 в разделе 3. Некоторые выводы приводятся в разделе 4.

\section{Предлагаемый алгоритм сопровождения нескольких маневрирующих целей}
В данном разделе для решения задачи сопровождения нескольких маневрирующих целей алгоритм
 ММФЧРБ распространяется на случай сопровождения нескольких маневрирующих целей. 
Схема предложенного алгоритма приводится на рис. 1.

На рис 1. $\{z_{ki} \}_{i=1}^n$ обозначает множество действительных измерений в момент 
$k$, $T$ обозначает количество целей, $M$ -- количество моделей. В данном 
алгоритме используется для ассоциации данных на базе нечеткой логики 
используется нечеткая когнитивная карта (НКК), а динамическая модель 
одиночной цели построена на базе ММФЧРБ.

\subsection{Ассоциация данных при помощи нечеткой логики}
Допустим,n измерений поступило в момент k во многоцелевом окружении. 
Для простоты будем полагать, что $z_ki$, $(i=1,2,\cdots,n)$ обозначает последовательности 
измерений. Количество измерений $n$ необязательно равно количеству целей $c$. 
Требуется приписать только одно из $n$ измерений каждой цели так, что каждое 
измерение имеет только одного родителя. Наша цель состоит в том, чтобы произвести 
ассоциирование каждого измерения $z_{ki}$ с одной из c возможных траекторий 
(возможно, ошибка), получив предсказанные значения $v_i$ для каждой цели $i$,$i=1,2,\cdots,c$. 
Предсказанные значения $v_i$ могут быть оценены при помощи калмановской фильтрации. 
Ассоциирование данных на базе НКК включает следующие шаги:
\begin{enumerate}
\item Применить алгоритм НКК для фиксированного $V(v_1, v_2, \cdots, v_T)$ и найти
частичную матрицу $U$, в которой представлена степень принадлежности всех измерений
ко всем траекториям. Каждый элемент частичной матрицы $u_{ik}$ $(i = 1, 2, \cdots, c, k = 1,2,\cdots, n)$
представляет меру ассоциации мержду предсказанным значением траектории $i$ и измерением
$k$.
\item Найти максимальную степень схожести $u_{{i_M}{k_M}}$ (ближайшую пару <<измерение-траектория>>)
и сформировать указанное ассоциирование, привязав измерение $k_M$ траектории $i_M$.
\item Убрать пару измерение-траектория, отождествленную выше, из матрицы ассоциации
$U$, получив, таким образом, сокращенную матрицу.
\item Повторять шаги 2 и 3 для каждой оставшейся траектории, пока $c$ измерений
не проассоциируются с $c$ траекториями.
\item Получить итоговое соотнесение измерений траекториям.
\end{enumerate}

\subsection{Оценка динамической модели одиночной цели}
Для сопровождения маневрирующей цели в зашумленной целевой обстановке мы 
предлагаем новый многомодельный фильтр частиц Рао-Блеквелизда (ММФЧРБ). 
Детальный вывод ММРБФЧ можно видеть в [1], здесь же он описывается кратко.

Для задачи сопровождения маневрирующей цели в зашумленной обстановке, 
допустим, что $x_k$ обозначает состояние, которое следует оценить, а
$z_k$ -- наблюдение, где нижний индекс обозначает момент времени $k$.
Ключевая идея ФЧРБ -- разделить исходное пространство состояний на две
части -- $x_k$ (\textit{переменные состояния}) и $M_k$ -- \textit{модельные
переменные}, таким образом, что $p(x_k|x_{1:k-1}, M_{1:k}, z_{1:k})$
-- распределение, которое может быть вычислино точно исходя из значений 
модельных переменных, а распределение $p(M_k|M_{1:k-1},z_{1:k})$ 
рассчитывается при помощи методов Монте-Карло, таких как фильтрация 
частиц. Один шаг предложенного алгоритм ММФЧРБ состоит в следующем:
\begin{enumerate}
\item Последовательный шаг дискретизации по значениям важности:
  \begin{itemize}
  \item Для каждого $i = 1, \cdots, N$, дискретизуем:
  $$
    M_i^k \infty p(M_k|z_{1:k}, M^i_{k-1})
  $$
  \item Для каждого $i = 1, \cdots, N$, рассчитываем веса важности:
  $$
    w_k^i \infty w_{k-1}^i 
    \frac{p(z_k|M_k^i,z_{1:k-1},M_{k-1}^i)p(M_k|M_{k-1}^i)}
  {p(M_k|z_{1:k},M_{k-1}^i)}
  $$
  \item Для каждого $i = 1, \cdots, N$ произвести нормализацию
  весов важности:
  $$
    w_k^i = w_k^i\left[\sum_{j=1}^{N} w_k^j\right]^{-1}
  $$
  \end{itemize}
\item Шаг селекции:
  Увеличить/уменьшить отсчеты $M_k^i$ в соответствии с большими/маленькими
  весами важности $w_k^i$, соответственно, чтобы получить $N$ случайных
  значений $M_k^i$, примерно распределенных соответственно $p(M_k|z_{1:k})$.
\item Шаг обновления:
  Для каждого $i = 1, \cdots, N$ использовать одну итерацию фильтра
  вероятностного ассоциирования данных (или Калмановского) для обновления
  состояний $x_k$.
\end{enumerate}

\subsubsection{Функция правдоподобия для измерений}
Итак, ключевым неосвещенным моментом остается то, как выбрать 
плотность распределения вероятности (ПРВ)
$p(z_{kj}|M_k,z_{1:k-1},M_{k-1}^i)$ для измерений $z_{kj}$. Для того
чтобы рассчитать ПРВ измрений $z_{kj}$ мы предположим, что имеем
$M$ моделей движения целей в алгоритме. Мы определим:
\begin{itemize}
\item $M_k = 1$ опреледяет движение с постоянной скоростью в момент
  времени $k$.
\item $M_k = 2$ определяет движение с постоянной угловой скоростью
  в момент времени $k$.
\item $\cdots$
\item $M_k = M$ определяет движение с постоянным ускорением в момент
  времени $k$.
\end{itemize}

Если измерение $z_{kj}$ относится к модели движения цели $m$, то 
функция правдоподобия измерения может быть записана следующим образом:
\begin{eqnarray}
\label{eq:likehood}
&p(z_{kj}|M_k = m, z_{1:k-1},M_{k-1}^i) = \\
&= \int p(z_{kj}|M_k = m,x_{k,m}) p(x_{k,m}|z_{1:k-1},M_{k-1}^i)dx_{k,m} = \\
&=\int N\left(z_{kj}|h(x_k,M_k=m),R\right) 
      N\left(x_{k,m}|f(x_{k-1},M_{k-1}^i),Q\right),dx_{k,m}
\end{eqnarray}

Из уравнения \ref{eq:likehood} мы можем видеть, что функция правдоподобия измерения
является функцией правдоподобия фильтра для цели. Таким образом, мы получаем:
\begin{eqnarray}
\label{eq:likehood1}
&p(z_{kj}|M_k = m,z_{1:k-1},M_{k-1}^i) = \\
&= N\left(z_{kj}|h\left[f(x_{k-1},M_{k-1}^i\right],M_k=m,S_{k,t}\right) \\
&m=1,2,\cdots,M
\end{eqnarray}

Здесь $S_{k,t}$ обозначает ковариацию измерения в соотвтетствии
с условиями, определяемыми для модели цели $m$.

Подставляя \ref{eq:likehood1} в, совместная функция правдоподобия измерений
может быть выражена следующим образом:
\begin{equation}
\begin{array}{rlr}
p(z_k|M_k,m_k,z_{1:k-1},M_{k-1}^i) &  = \\
&= \left\{
  \begin{array}{ll}
  N\left(z_{kj}|h\left[f(x_{k-1},M_{k-1}^i\right],M_k = 1,S_{k,1}\right),
  & \mbox{если }M_k = 1 \\
  N\left(z_{kj}|h\left[f(x_{k-1},M_{k-1}^i\right],M_k = 2,S_{k,2}\right),
  & \mbox{если }M_k = 2 \\
  \cdots &\\
  N\left(z_{kj}|h\left[f(x_{k-1},M_{k-1}^i\right],M_k = M,S_{k,M}\right),
  & \mbox{если }M_k = M \\
  \end{array}
\right.
\end{array}
\end{equation}

\subsubsection{Оптимальное распределение для величины важности}
Для каждой частицы $i$, оптимальное распределение величины важности 
вычислияется посредством:
\begin{eqnarray*}
  &p(M_k|z_{1:k},M_{k-1}^i) \infty p(z_k|M_k,z_{1:k-1},M_{k-1}^i) =\\
  &=p(z_k|M_k,z_{1:k-1},M_{k-1}^i)p(M_k|M_{k-1}^i)
\end{eqnarray*}

Здесь мы используем тот факт, что модель $M_k$ не зависит от предыдущих
измерений $z_{1:k-1}$, а зависит только от предыдущей модели.

Мы можем дискретизировать оптимальное распределение величины
важности как показано ниже:
\begin{enumerate}
\item Рассчитать вероятности для каждой модели:
$$
  \Pi^i_m=p\left(z_k|M_k^i=m,z_{1:k-1},M_{k-1}^i\right)
  p\left(M_k^i-m|M_{k-1}^i\right)\; m=1,2,\cdots,M
$$
\item Произвести нормализацию распределения величины важности:
$$
\hat{\Pi}^i_m = \frac{\Pi_m^i}{\sum\limits_{m=1}^{M}\Pi_m^i}
$$
$$
m = 1,2,\cdots,M
$$
\end{enumerate}

Таким образом, мы можем дискретизировать новую модель $M_k^i$
с использованием следующих вероятностей:
\begin{itemize}
\item Выбрать $M_k^i = 1$ с вероятностью $\hat{\Pi}_1^i$
\item Выбрать $M_k^i = 2$ с вероятностью $\hat{\Pi}_2^i$
\item$\cdots$
\item Выбрать $M_k^i = M$ с вероятностью $\hat{\Pi}_M^i$
\end{itemize}

\subsection{Результаты экспериментов}
В данном разделе мы рассмотрим две маневрирующие цели с пересекающимися 
траекториями в одномерном сценарии имитации для иллюстрации реализации
метода ММФЧРБ.

Рассмотрим систему:
$$
x_k = f(x_{k-1},M_k) + g(M_k)w_k
$$
$$
z_k = h(x_k, M_k) + v_k
$$

Где состояние цели описывается $x = (x,\hat{x})$, а $M_k \in \{1,2,3\}$, $m = 1$
соответствует модели движения цели с постоянной скоростью, $m=2$ 
соответствует модели движения с постоянной угловой скоростью (по часовой
стрелке), $m=3$ -- модели движения с постоянной уголовой скоростью
(против часовой стрелки) [6].

В данном примере, исходное положение и скорости целей:
$$
[2.01, 0.15; 8.01, 0.25]
$$

Траектория цели изображена на рис. 2. Рис 3. показывает результаты сопровождения
в предложенном методе. Рис 4. показыет среднеквадратичное отклонение (СКО)
ошибок предсказания положения предложенным методом. Из рис. 2 и рис. 3 мы видим,
что предложенный алгоритм может производить сопровождение целей с маленькими
ошибками оценки положения цели.

\subsection{Выводы}
В данной статье предложен новый алгоритм сопровождения нескольких маневрирующих
целей. Данный алгоритм базируется на ассоциировании данных посредством
нечеткой когнитивной карты, а также многомодельного фильтра частиц Рао-Блеквелизда
(ММФЧРБ) для ассоциирования данных и сопровождения траектории. Работа
алгоритма на практике была продемонстрирована в случае двух маневрирующих
целей. Результаты имитационного моделирования показывают, что предложенный
алгоритм может эффективно сопровождать маневрирующие цели.

\subsection*{Благодарности}
Эта работа проводилась в рамках исследований под началом Департамент
Естественных Наук провинции ГуангДонг в Китае, (8451806001001836), Проект 201047,
поддерживаемый SZU R/D Fund.

\end{document} % конец документа
